平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左右子树的高度差不超过一个常数（通常是1）。平衡二叉树的主要特点是其高度保持在较低水平，从而保证了基本操作（如插入、删除和查找）的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。以下是一些平衡二叉树的特点和类型：

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高度平衡：
- 对于每个节点，其左子树和右子树的高度差不超过一个常数（通常是1）。
- 这使得树的深度尽可能小，接近于 $\log n$ 。
时间复杂度：
- 插入、删除和查找操作的时间复杂度为
$O(\log n)$ ，其中n是节点的数量。与普通二叉搜索树相比，平衡二叉树避免了退化成链表的情况。
递归定义：
- 平衡二叉树可以递归地定义：每个子树本身也是一棵平衡二叉树。

AVL 树（Adelson-Velsky and Landis Tree）
- AVL 树是最著名的自平衡二叉搜索树之一。
- 每个节点的高度差不超过1，即 $∣height(left)-height(right)∣\leq1$
- 当插入或删除操作导致不平衡时，通过旋转操作（左旋、右旋）来恢复平衡。
红黑树（Red-Black Tree）
- 红黑树是另一种自平衡二叉搜索树。
- 每个节点有一个颜色属性（红色或黑色），并满足一系列约束条件。
- 通过旋转和重新着色操作来保持树的平衡。
AA 树
- AA 树是一种自平衡二叉搜索树，通过在每个节点上维护一个级别的属性来简化平衡操作。
- 每个节点的级别相同或比其子节点小1。
Splay Tree（伸展树）
- Splay 树是一种自调整二叉搜索树，在每次访问后会将该节点移到根位置，使得最近访问的节点更接近根。
- 虽然不是严格意义上的平衡二叉树，但在实际应用中表现良好。
B-Tree 和 B+ Tree
- B-Tree 和 B+ Tree 是用于外部存储（如数据库和文件系统）的自平衡搜索树。
- 通过在每个节点上维护多个子节点来提高查找效率，并且保持树的平衡。

平衡二叉树广泛应用于需要高效插入、删除和查找操作的场景，例如：